Les métamorphoses du calcul : une étonnante histoire de mathématiques Gilles Dowek

Résumé

Socle même de la méthode mathématique depuis l'Antiquité grecque, la notion de démonstration s'est profondément transformée depuis le début des années soixante-dix. Plusieurs avancées mathématiques importantes, non toujours connectées les unes aux autres, remettent ainsi progressivement en cause la prééminence du raisonnement sur le calcul, pour proposer une vision plus équilibrée, dans laquelle l'un et l'autre jouent des rôles complémentaires. Cette véritable révolution nous amène à repenser le dialogue des mathématiques avec les sciences de la nature. Elle éclaire d'une lumière nouvelle certains concepts philosophiques, comme ceux de jugement analytique et synthétique. Elle nous amène aussi à nous interroger sur les liens entre les mathématiques et l'informatique, et sur la singularité des mathématiques qui est longtemps restée l'unique science à ne pas utiliser d'instruments. Enfin, et c'est certainement le plus prometteur, elle nous laisse entrevoir de nouvelles manières de résoudre des problèmes mathématiques, qui s'affranchissent de certaines limites arbitraires que la technologie du passé a imposé à la taille des démonstrations : les mathématiques sont peut-être en train de partir à la conquête d'espaces jusqu'alors inaccessibles.

Auteur  :
Dowek, Gilles (1966-....)
Éditeur :
Éd. le Pommier,
Genre :
Documentaire
Langue :
français.
Note :
Bibliogr. p. 215-219. Index
Mots-clés :
Nom commun :
Mathématiques -- Histoire -- Ouvrages de vulgarisation
Description du livre original :
1 vol. (223 p.) : ill., couv. ill. ; 20 cm
Domaine public :
Non
Téléchargement du livre au format PDF pour «  Les métamorphoses du calcul »

Table des matières

  • Introduction : Les mathématiques à la conquête de nouveaux espaces
  • I.. Une origine ancienne
    • Chapitre I : De la préhistoire des mathématiques aux mathématiques grecques
      • Les comptables et les arpenteurs
      • L'irruption de l'infini
      • Les premières règles de raisonnement: les philosophes et les mathématiciens
    • Chapitre II : Deux mille ans de calcul
      • L'algorithme d'Euclide : un calcul fondé sur le raisonnement
      • Le théorème de Thalès: l'invention des mathématiques
      • Le discours et les actes
      • L'écriture positionnelle
      • Le calcul intégral
  • II. L'âge classique
    • Chapitre III : La logique des prédicats
      • Les jugements synthétiques a priori
      • De la notion de nombre à celles de concept et de proposition
      • La logique de Frege
      • L'universalité des mathématiques
      • La logique des prédicats et la théorie des ensembles
      • Le problème des axiomes
      • Les résultats du projet de Frege
    • Chapitre IV : Du problème de la décision au théorème de Church
      • L'apparition de nouveaux algorithmes
      • Le problème de la décision
      • L'élimination de l'infini
      • Le théorème de Church
      • Les algorithmes objets du calcul
      • Le problème de l'arrêt
      • Analytique ne signifie pas évident
    • Chapitre V : La thèse de Church
      • La notion commune de calcul
      • La forme physique de la thèse de Church
      • La mathématisabilité de la nature
      • La forme des lois de la nature
    • Chapitre VI : Une tentative de donner sa place au calcul en mathématiques : le lambda-calcul
    • Chapitre VII : La constructivité
      • La constructivité
      • Le constructivisme
      • La résolution de la crise
      • La constructivité aujourd'hui
    • Chapitre VII : Les démonstrations constructives et les algorithmes
      • L'élimination des coupures
      • Les fonctions et les algorithmes
      • Les démonstrations constructives comme algorithmes
  • III. La crise de la méthode axiomatique
    • Chapitre IX : La théorie intuitionniste des types
      • La théorie intuitionniste des types
      • L'égalité par définition
      • L'égalité par définition et les jugements analytiques
      • Des démonstrations courtes à écrire, longues à vérifier
    • Chapitre X : La démonstration automatique
      • Le fantasme des « machines intelligentes »
      • La « résolution » et la paramodulation
      • De l'unification à la résolution d'équations
      • La théorie des types de Church
    • Chapitre XI : La vérification des démonstrations
      • Le programme Automath
      • Calculable, mais après coup
      • La correction des programmes
    • Chapitre XII : Des nouvelles du terrain
      • Le théorème des quatre couleurs
      • Le calcul formel
      • Le théorème de Hales
      • La démonstration du théorème des quatre couleurs est-elle vraiment longue ?
      • Comprendre pourquoi
      • La démonstration du théorème est-elle correcte ?
      • La taille des démonstrations et le théorème de Church
      • Démontrer qu'un théorème n'a que de longues démonstrations?
      • À la conquête de nouveaux espaces
    • Chapitre XIII : Les instruments
      • Des résultats expérimentaux en mathématiques
      • Des souffleries comme calculateurs analogiques
      • Les connaissances qui ont permis de construire les instruments
      • L'ordinateur et le millionnaire
    • Chapitre XIV : En finir avec les axiomes ?
  • Conclusion : Au terme de ce périple
  • Annexes
    • Repères biographiques
    • Bibliographie
      • Chapitre I
      • Chapitre II
      • Chapitre III
      • Chapitre IV
      • Chapitre V
      • Chapitre VI
      • Chapitre VII
      • Chapitre VIII
      • Chapitre IX
      • Chapitre X
      • Chapitre XI
      • Chapitre XII
      • Chapitre XIII

Commentaires

Laisser un commentaire sur ce livre