Le Fascinant Nombre Pi Jean-Paul Delahaye

Résumé

Le nombre Pi est une star incontournable, omniprésente en mathématiques et en physique comme dans la culture populaire. Et c'est à juste titre ! On a très tôt cherché à l'apprivoiser. La quadrature du cercle a suscité bien des efforts, même après que l'on a prouvé son impossibilité. Et sur l'océan des décimales de Pi se défient aujourd'hui d'étranges navigateurs, faisant appel tant à l'informatique qu'aux mathématiques. Ce livre retrace l'histoire de son exploration, en insistant sur les épisodes les plus récents qui nous font percevoir tout le mystère de ce nombre : plus on connaît Pi, plus il se dérobe. Avec sa pédagogie coutumière et son enthousiasme intarissable, l'auteur nous entraîne à sa suite dans une enquête haletante où chaque chiffre compte !

Auteur :
Delahaye, Jean-Paul
Éditeur :
Paris, Belin,
Genre :
Essai
Langue :
français.
Description du livre original :
1 vol. (384 p.)
ISBN :
9782410014457.
Domaine public :
Non
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Table des matières

  • Avant-propos
    • Pi pour tous
  • CHAPITRE 1 - Premières rencontres - Définir et évaluer PI
    • Premières rencontres avec pi
    • Les cercles du monde physique et le pi du physicien
    • Première définition de pi
    • Une deuxième définition géométrique de pi
    • Une première définition arithmétique de pi
    • Encore des définitions géométriques
    • Les définitions plus abstraites
    • La définition de pi par radicaux ou la quadrature du cercle
    • Mesures expérimentales de pi
    • Les méthodes de Monte-Carlo
    • Les aiguilles de Buffon : pi sur le parquet
    • Évaluer pi en regardant le ciel
    • L’électricité, les pendules, etc.
    • Deux autres définitions élémentaires de pi
  • CHAPITRE 2 - Curieux et curiosités - Intrigues et amusements autour de pi
    • Apprendre pi
    • Moyens mnémotechniques
    • Exercices oulipiens
    • Circle digits : a self referential story par Michael Keith
    • Les chiffres de pi et la musique
    • Votre anniversaire dans pi
    • Quelques coïncidences : doit-on s’en étonner ?
    • Une loi ne peut pas fixer pi
    • Folie de la quadrature et des approximations
    • Un poisson d’avril
    • Le message dans pi de Cari Sagan
    • Paradoxes impliquant pi
      • (1) La corde autour de la Terre
      • (2) Le paradoxe de Bertrand
      • (3) Démonstration que pi = 2
      • (4) Démonstration que pi est rationnel
    • Humour avec pi
    • Faits curieux sur pi : des décimales fausses isolées
    • Un nombre très proche de pi mais qui n’est pas pi
    • Une coïncidence mathématique
    • Ecriture en base pi
  • CHAPITRE 3 - Histoire de pi aux temps de la géométrie - Quadratures et polygones
    • Le « pi » des anciens
    • Les Babyloniens
    • Les Égyptiens
    • La Bible
    • La quadrature du cercle
    • Archimède
    • Les Mayas
    • En Inde
    • En Chine
    • Dans le monde de l’Islam
    • En Europe avant l’analyse
    • La méthode des isopérimètres
  • CHAPITRE 4 - Histoire de pi au temps de l’analyse - Les formules infinies
    • John Wallis
    • William Brouncker
    • James Gregory
    • Gottfried Wilhelm Leibniz
    • Isaac Newton
    • James Stirling
    • John Machin
    • La notation de pi
    • Leonhard Euler
  • CHAPITRE 5 - Du calcul à la main à l’ère des machines - Le règne des arcs tangentes
    • Les motivations des chasseurs de décimales
    • De von Ceulen aux drôles de « 7» de William Shanks
    • William Shanks au Palais de la découverte
    • Tout est-il si facile avec les machines ?
    • Avec une machine, c’est quand même moins bête
    • Que faire avec le million de Jean Guilloud et Martine Bouyer ?
    • Complément : histoire des formules de pi avec arctan
  • CHAPITRE 6 - Le calcul pratique de pi - L'exemple des algorithmes compte-gouttes
    • Principes généraux de la pratique du calcul de pi
    • Programmes mystérieux
    • Une série d’Euler judicieusement utilisée
    • Les algorithmes compte-gouttes : pi au tableau
    • Le calcul en bases à pas variable
    • Accélération de la convergence
  • CHAPITRE 7 - Les mathématiques vivantes - Atteindre un milliard de décimales
    • Du million au milliard : 40 ans au moins ?
    • Comment gagner 20 ans ?
    • La multiplication rapide
    • Division et extraction rapide
    • Srinivasa Ramanujan : un génie parfait ?
    • Le progrès des formules pour arriver au milliard
    • Les records de 1973 à avril2009
  • CHAPITRE 8 - Le calcul isolé des chiffres de pi - Une découverte issue des mathématiques expérimentales
    • Plus rien de nouveau sur pi ?
    • Progrès mathématiques et perfectionnement des machines
    • Les évidences de l’intuition mathématique
    • Une formule radicalement nouvelle
    • Pour les digits mais pas pour les décimales
    • Comment utiliser la formule BBP ?
    • Les résultats des calculs
    • Les classes de complexité et pi
    • Les autres constantes
    • Simon Plouffe, un grand connaisseur de pi
    • Les mathématiques expérimentales
    • Ordinateurs et vérités mathématiques
  • CHAPITRE 9 - pi est-il transcendant ? - Irrationalité, radicaux et équations algébriques
    • Les mathématiciens aspirés dans l’infini à la recherche de pi
    • Être finiment définissable, c’est être rationnel
    • Vraiment les rationnels ne suffisent pas
    • Se soumettre aux raisonnements par l’absurde ?
    • Les nombres e et pi sont irrationnels
    • Être finiment définissable, c’est être constructible à la règle et au compas
    • Être finiment définissable, c’est être algébrique
    • Petite histoire de la transcendance
  • CHAPITRE 10 - pi est-il aléatoire ? - Le désordre et la complexité
    • Anomalies ?
    • Le nombre pi soumis aux tests
    • Le nombre pi n’a aucune raison d’être aléatoire
    • Le nombre pi est-il simple ?
    • Cryptographie
    • Les nombres statistiquement aléatoires
    • Les nombres aléatoires au sens de Martin-Löf
    • Un nombre pire que pi
    • L’aboutissement de la recherche du « finiment définissable »
    • Conclusion
  • Chapitre 11 - Derniers échos de la chasse aux décimales
    • Coup de tonnerre
    • Les secrets de l’exploit
    • Contrôler chaque erreur possible
    • Gérer les mémoires
    • La délicate loi de Moore
    • Calculer, c’est copier
  • Chapitre 12 - Au pays des illuminés du nombre pi
    • Apprendre pi par cœur
    • 200 000 décimales ?
    • Les obstinés simplificateurs de pi
    • Des revues prédatrices qui publient n’importe quoi, si l’on paye
  • Chapitre 13 - Le nombre pi est partout !
    • Le nombre de chocs avec deux billes et un mur
    • Caché dans une figure fractale
    • Écrit par le jeu de la vie
    • pi n’est tout de même pas partout !
  • Annexes
    • Annexe du chapitre 1
      • Une intégrale pour prouver Buffon
    • Annexes du chapitre 4
      • Démonstration de la formule de Wallis
      • Démonstration de la formule de Stirling
    • Annexes du chapitre 5
      • Démonstration des formules d’arctan
      • Les formules avec arctan les plus efficaces
    • Annexe du chapitre 6
      • L’extraction de racines carrées
    • Annexe du chapitre 7
      • La transformée de Fourier rapide pour multiplier
    • Annexes du chapitre 8
      • Démonstration de la formule de Simon Plouffe
      • Quelques formules nouvelles
    • Annexes du chapitre 9
      • Les figures constructibles à la règle et au compas
      • Démonstration de la transcendance de e et de pi
  • Tableaux, formules et données complémentaires
    • Approximations rationnelles et algébriques de pi
    • Constructions à la règle et au compas d’approximations de pi
    • Le nombre pi en géométrie
    • Le nombre pi en arithmétique et en probabilité : complément au chapitre 1
    • La formule d’Euler de 1740 et quelques variantes
    • Des formules de séries pour pi
    • Des formules d’intégrales définies pour pi
    • Les nombres autour de pi
    • Ecriture de pi dans diverses bases
    • Dix mille chiffres binaires de pi
    • Sites Internet
  • BIBLIOGRAPHIE

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